Родился 8-го августа 1924 года в деревне Жуковка Жуковской волости.
Окончил Жуковскую восьмилетнюю школу и три курса Московского механического техникума.
Вместе с Жуковским военно-обозным заводом эвакуировался в г. Сердобск. В мае 1942 года был призван в армию и направлен на фронт помощником командира огневого взвода 19-ой гвардейской минометной бригады 13-ой армии первого Украинского фронта.
В одном из боев в г. Хобеня (Польша) переправился через р. Одер, вместе с товарищами не только удержали плацдарм, но и его расширили, уничтожив бронированные машины и подавив огневые точки противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии сержанту Белявскому Борису Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда»
Генерал-лейтенант (1978). Награждён орденами Ленина (10.04.1945), Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Трудового Красного Знамени, Красной Звезды (29.06.1944), «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» 3-й степени, медалями, в том числе «За отвагу» (25.01.1943), 2 медалями «За боевые заслуги» (в т.ч. 23.08.1943).
МБОУ Жуковской СОШ №1 присвоено имя Героя Советского Союза Б.В. Белявского.
Генерал-лейтенант Б.В. Белявский умер 16 декабря 2014г. похоронен в Санкт Петербурге.